English

 

Χάος! Μια λέξη που ακούμε συχνά και που μας τρομάζει τόσο πολύ. Πράγμα άλλωστε που φαίνεται να έχει λογική, αν σκεφτεί κανείς πως ζούμε σε ένα σύμπαν που τα πάντα δουλεύουν στην εντέλεια και μπορούν να προβλεφθούν από συγκεκριμένους νόμους (ασχέτως αν τους καταλαβαίνουμε ή όχι)… ή τουλάχιστον, έτσι νομίζουμε.

Επιστημονικά το Χάος ορίζεται ως η ακραία ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες. Στα Μαθηματικά και τη Φυσική (και σε πολλές άλλες επιστήμες), η Θεωρία του Χάους, που εμφανίστηκε ως δια μαγείας πριν από σαράντα χρόνια, έχει φέρει ριζικές αλλαγές στον τρόπο σκέψης των ερευνητών και έχει επιφέρει πρόοδο που οι κλασσικές μέθοδοι έρευνας ούτε θα φαντάζονταν. Το παρόν άρθρο επιχειρεί μία προσέγγιση του τι είναι Χάος στις θετικές επιστήμες, πώς γεννήθηκε η ανάγκη για την έρευνα των χαοτικών συστημάτων και σε ποια σημεία έχει εφαρμογές.

Τα Πρώτα Βήματα στο Χάος: “Το Πρόβλημα των n Σωμάτων”

Από την αρχή της πορείας του, ο Άνθρωπος ήθελε να εξηγήσει τα φαινόμενα που συνέβαιναν γύρω του. Στην προσπάθεια του αυτή άρχισε να δημιουργεί μοντέλα βασισμένα είτε σε κάποια μεταφυσική δύναμη είτε σε κάποια φυσική τάξη που υπέθετε ότι υπάρχει στο σύμπαν. Τα μοντέλα αυτά, συχνά, οδηγούσαν σε νόμους που ερμήνευαν, ή ακόμη, προέβλεπαν τη Φύση. Αυτή η τεχνική ήταν που δημιούργησε την “Επιστήμη”. Ωστόσο, τα αποτελέσματα των ερευνών δεν ήταν πάντα ρόδινα.

Κατά πάσα πιθανότητα, ο πρώτος που ήρθε αντιμέτωπος με ένα πρόβλημα αδύνατο να λυθεί ήταν ο Άγγλος μαθηματικός και θεωρητικός φυσικός sir Isaac Newton (1642-1727). Ως γνωστόν, ο Newton ήταν αυτός που διατύπωσε το Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης. Σύμφωνα με αυτόν, η πτώση των σωμάτων στη Γη αλλά και η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο οφείλονται σε μία δύναμη, γνωστή ως βαρυτική. Η μαθηματική περιγραφή αυτής της δύναμης είναι:

 

 

 

Ο νόμος αυτός καταφέρνει να εξηγήσει (και μαθηματικά) γιατί οι πλανήτες κινούνται γύρω από τον Ήλιο σε ελλειπτικές τροχιές. Ωστόσο, σε αντίθεση με αυτό που νομίζουμε μαθαίνοντας το νόμο αυτό στο σχολείο, ο Newton δεν κατάφερε να βρει την εξίσωση κίνησης ενός σώματος που κινείται ως προς ένα ή περισσότερα άλλα υπό την επίδραση της βαρύτητας. Δηλαδή, δεν μπόρεσε να βρει ένα νόμο που να προβλέπει τη θέση και την ταχύτητα οποιουδήποτε σώματος κινούμενου υπό την έλξη άλλων σωμάτων κάθε χρονική στιγμή, αν είναι γνωστές η μάζα, η αρχική θέση και η αρχική ταχύτητα του.

Η αιτία αυτού του κενού στο Νόμο της Παγκόσμιας Έλξης είναι ακριβώς η ύπαρξη του Χάους. Ο Newton, λύνοντας προσεγγιστικά το σύστημα δύο σωμάτων που κινούνται υπό την επίδραση της βαρύτητας (π.χ. η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο), θεώρησε ότι το να προσθέσει οποιοδήποτε επιπλέον σώμα στο σύστημα θα ήταν απλό. Ωστόσο, με την προσθήκη ενός ακόμη σώματος (π.χ. της Σελήνης στο σύστημα Ήλιου-Γης) το σύστημα ήταν αδύνατο να λυθεί. Ο Newton άφησε σχετικά γρήγορα το πρόβλημα χωρίς να κάνει καμία αναφορά γι’ αυτό στο βιβλίο του “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας), στο οποίο διατυπώνει τις απόψεις για τη Μηχανική και τη Βαρύτητα.

Κατά το πέρασμα των αιώνων, πολλοί επιστήμονες ασχολήθηκαν με το “πρόβλημα των τριών σωμάτων” ή, όπως ονομάστηκε στη γενική του περιγραφή, με “το πρόβλημα των n σωμάτων”. Όλοι υπέθεταν ότι με πολλή επινοητικότητα και μετά από αρκετή δουλειά, το πρόβλημα αυτό θα λυνόταν όπως και το προγονικό του “πρόβλημα των δύο σωμάτων”. Κανένας δεν μπορούσε να δεχτεί ότι το σύμπαν δε λειτουργούσε όπως καλοκουρδισμένο ρολόι, όπως προέβλεπαν οι Νόμοι του Newton. Όμως, η Φύση είναι συχνά πιο πολύπλοκη απ’ ότι τη φανταζόμαστε.

Στα τέλη της δεκαετίας του 1890, ο Βασιλιάς Oscar II της Σουηδίας (1829-1907) αναθέτει στους επιστήμονες ολόκληρου του κόσμου τέσσερα προβλήματα που του προτείνει ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass (1815-1897). Όποιος κατάφερνε να λύσει ένα από αυτά μέχρι την 21^η Ιανουαρίου του 1889 (ημέρα των εξηκοστών γενεθλίων του βασιλιά) θα κέρδιζε εκτός του χρηματικού επάθλου (2.500 σουηδικές κορόνες), ένα χρυσό μετάλλιο, την έκδοση της λύσης και (φυσικά) δόξα. Ένα από τα τέσσερα προβλήματα είχε την παρακάτω εκφώνηση:

“Δοσμένου ενός συστήματος αυθαίρετα πολλών υλικών σημείων που έλκονται σύμφωνα με τους νόμους του Newton, και υποθέτοντας ότι κανένα δε συγκρούεται με τα υπόλοιπα, προσπαθήστε να βρείτε μία αναπαράσταση των συντεταγμένων κάθε σημείου ως σειρά μεταβλητών που είναι γνωστές συναρτήσεις του χρόνου και για όλες αυτές το σύστημα να συγκλίνει ομοιόμορφα.”

Ουσιαστικά, ζητείται από τους επιστήμονες να λύσουν ένα σύστημα n σωμάτων: να βρουν τις εξισώσεις κίνησης n σωμάτων στον τρισδιάστατο χώρο υπό την επίδραση της βαρύτητας και να αποδείξουν ότι το σύστημα αυτό είναι ευσταθές (δε μεταβάλλεται παρά τις τυχόν διαταραχές ή μετατοπίσεις ενός σώματος σε αυτό). Αυτό το πρόβλημα ήταν που αποφάσισε να λύσει ο Γάλλος μαθηματικός, θεωρητικός φυσικός και φιλόσοφος Henri Poincaré (1854-1912).

O Poincaré κατάλαβε αμέσως ότι το πρόβλημα έπρεπε να περιοριστεί, καταλήγοντας στο πρόβλημα των τριών σωμάτων, το οποίο δεν είχε καταφέρει να λύσει ο Newton. Στη συνέχεια, μελέτησε τις τροχιές των (τριών πλέον) πλανητών στο χώρο των φάσεων, ένα χώρο όπου οι συντεταγμένες δε δίνονται από τη θέση και το χρόνο αλλά από την ορμή (γινόμενο ταχύτητας και μάζας) και τη θέση. Στη μελέτη του αυτή ο Poincaré απέδειξε τη μεγαλοφυΐα του, αρχικά θέτοντας τη μάζα του ενός σώματος μικρότερη από τη μάζα των άλλων δύο (περιορισμός του προβλήματος) και στη συνέχεια μελετώντας μόνο ένα μικρό τμήμα του χώρου των φάσεων κάθε φορά αντί για ολόκληρη την τροχιά.

Το δεύτερο αυτό βήμα ήταν και καταλυτικό. Ο Poincaré χρησιμοποιούσε ένα επίπεδο κάθετο στην τροχιά των σωμάτων (γνωστό ως “Τομή Poincaré”) και σημείωνε πάνω σ’ αυτό το στίγμα ενός σώματος όταν αυτό διερχόταν από εκεί. Σε ένα τέτοιο επίπεδο είναι εύκολο να εντοπίσεις τις περιοδικές ή τις μη περιοδικές τροχιές, ανάλογα με το αν επαναλαμβάνονταν ή όχι τα στίγματα.

Με αυτό το εργαλείο ο Poincaré πίστεψε ότι θα κατάφερνε να αποδείξει την ευστάθεια ενός τέτοιου συστήματος. Κι όντως, μετά από αρκετές προσπάθειες τα κατάφερε, καταθέτοντας στην επιτροπή που όρισε ο βασιλιάς Oscar II μια εργασία 200 σελίδων. Η εργασία έκανε τέτοια εντύπωση που ο Poincaré κέρδισε αμέσως το βραβείο και πολλοί θέλησαν να τον προτείνουν για Nobel.

Όμως, ο Σουηδός μαθηματικός Edvard Phragmén (1863-1937) ανακάλυψε ένα σφάλμα στην εργασία. Η τύπωση της λύσης στο περιοδικό Acta Mathematica σταμάτησε αμέσως και ο Poincaré ξαναστράφηκε στο πρόβλημα. Το αποτέλεσμα αυτή τη φορά ήταν το εντελώς ανάποδο: το σύστημα των n σωμάτων όχι μόνον δεν ήταν ευσταθές αλλά παρουσίαζε τις πιο παράδοξες λύσεις που είχε δει ποτέ ο Γάλλος μαθηματικός.

Το Χάος είχε κάνει την πρώτη δειλή εμφάνισή του στη σκηνή της επιστήμης.

Σύννεφα και Στροβιλισμοί: Το Χάος ξαναχτυπά!

Χρειάστηκε να περάσουν εβδομήντα περίπου χρόνια για να ξαναστραφεί η επιστημονική έρευνα προς το Χάος. Ένας από τους πρωτοπόρους του είδους ήταν ο Αμερικανός μαθηματικός και μετεωρολόγος Edward Lorenz (1917-2008). O Lorenz είχε κατασκευάσει στον υπολογιστή του ένα “παιχνίδι” με τον καιρό: είχε δημιουργήσει ένα ψηφιακό σύμπαν του οποίου τους νόμους μπορούσε να ρυθμίζει ο ίδιος και το οποίο προσομοίωνε (αρκετά ρεαλιστικά) τη γήινη ατμόσφαιρα. Κάθε λεπτό ο υπολογιστής τύπωνε σε μια σελίδα μία σειρά αριθμούς που περιέγραφαν τον καιρό μίας ημέρας. Το αξιοπερίεργο σε όλο αυτό το “παιχνίδι” ήταν ότι κανένα φαινόμενο δεν επαναλαμβανόταν.

Στην ουσία, ο Lorenz είχε σκηνοθετήσει ένα σύμπαν του οποίου ο καιρός μεταβαλλόταν συναρτήσει του χρόνου. Χρησιμοποιούσε τους νόμους του Newton ώστε τα πάντα να δουλεύουν στην εντέλεια. Στην πραγματικότητα, όμως, ο ίδιος ο Lorenz χρησιμοποιούσε μία μορφή “τακτικής αταξίας” για να δώσει στον καιρό του την ευμετάβλητη μορφή του πραγματικού καιρού. Έτσι, κάθε καιρικό φαινόμενο μπορούσε να παρομοιαστεί με κύκλους οι οποίοι επαναλαμβάνονταν χωρίς όμως να είναι απολύτως ίδιοι.

Ο υπολογιστής, όπως αναφέρθηκε, τύπωνε σε μία σελίδα μία σειρά αριθμών που περιέγραφαν τον καιρό. Οι αριθμοί αυτοί είχαν, για οικονομία χώρου, τρία δεκαδικά ψηφία (π.χ. 0,506) ενώ στην πραγματικότητα ο υπολογιστής έκανε υπολογισμούς με αριθμούς που είχαν έως έξι δεκαδικά (π.χ. 0,506127). Κάποια στιγμή, ο Lorenz θέλησε να επανεξετάσει μία ακολουθία μεγάλου μήκους. Αντί, λοιπόν, να ξεκινήσει την προηγούμενη διαδικασία από την αρχή (εξασφαλίζοντας με ακρίβεια όλα τα προηγούμενα βήματα) πέρασε στον υπολογιστή τους αριθμούς που είχαν προκύψει την προηγούμενη φορά (χάνοντας την ακρίβεια των τριών τελευταίων δεκαδικών) και ξεκίνησε τη διαδικασία από τη μέση. Το αποτέλεσμα ήταν ένας καιρός που με το πέρασμα του χρόνου δεν είχε καμία σχέση με τον καιρό που προέκυψε την προηγούμενη φορά. Η διαφορά στα τρία τελευταία ψηφία (απειροελάχιστα μικρή στις προσεγγίσεις μας) προκάλεσε με την πάροδο του χρόνου τεράστια αλλαγή και έκανε το Lorenz να αναφωνήσει:

“Το πέταγμα μιας πεταλούδας στη Βραζιλία μπορεί να προκαλέσει έναν τυφώνα στο Τέξας.”

Μετά το πρώτο σοκ, ο Lorenz συνέχισε να δουλεύει σε αντίστοιχα συστήματα με μη γραμμικές εξισώσεις (εξισώσεις που εκφράζουν σχέσεις μη αυστηρής αναλογίας). Παρατήρησε αντίστοιχες συμπεριφορές με τον καιρό στο στροβιλισμό των ρευστών. Επίσης, μελέτησε ένα είδος υδροτροχού, ενός συστήματος που αποτελείται από έναν τροχό με δοχεία κρεμασμένα κατά μήκος της περιμέτρου του. Τα δοχεία έχουν μια μικρή τρύπα και από πάνω στάζει με σταθερό ρυθμό νερό. Καθώς το νερό στάζει, το δοχείο που βρίσκεται πιο ψηλά δε γεμίζει καθώς αδειάζει αμέσως λόγο της τρύπας. Aν το νερό στάζει λίγο πιο γρήγορα, το βάρος των δοχείων τα παρασέρνει προς τα κάτω κι ο τροχός γυρνάει. Αν δε το νερό στάζει πολύ γρήγορα, τα πιο βαριά δοχεία πάνε κάτω με αποτέλεσμα ο τροχός να γυρνάει πότε προς τη μία πλευρά και πότε προς την άλλη. Όμως, ο Lorenz ανακάλυψε πως τα πράγματα ήταν απείρως πολυπλοκότερα.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις τρεις εξισώσεις (με τρεις μεταβλητές), ο Lorenz μπορούσε να περιγράψει πλήρων την κίνηση ενός τέτοιου συστήματος.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Χρησιμοποιώντας την τριάδα των αριθμών που προέκυπταν σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή από τις τρεις εξισώσεις ως τριάδα συντεταγμένων στον τρισδιάστατο χώρο των φάσεων, ο Lorenz αποπειράθηκε να φτιάξει ένα διάγραμμα την κίνησης που μελετούσε. Το αποτέλεσμα τον έκανε πασίγνωστο: ένα σχήμα απείρως πολύπλοκο που θύμιζε φτερά πεταλούδας ή μάτια κουκουβάγιας, ο Ελκυστής Lorenz.Τη δουλειά του συνέχισε ο Αμερικανός θεωρητικός βιολόγος Robert May. Ο May στις αρχές τις δεκαετίας του 1970 μελετούσε την αύξηση των πληθυσμών ενός είδους σε ένα οικοσύστημα συναρτήσει της παροχής φαγητού. Παρατήρησε ότι η εξίσωση που είχε κατασκευάσει για τη μελέτη του παρουσίαζε μία συγκεκριμένη περιοδικότητα η οποία όμως μετά από κάποιο χρόνο γινόταν απρόβλεπτη.

Ο May συνεχίζοντας να δουλεύει πάνω σε οικοσυστήματα με αντίστοιχο τρόπο αντιλήφθηκε ότι κάθε σύστημα που διαγράφει κανονικές περιόδους έχει την πιθανότητα να καταλήξει σε απρόβλεπτη (δηλαδή χαοτική) εξέλιξη. Χάρη στις έρευνές του, μάλιστα, προσδιορίστηκε με ακρίβεια το σημείο στο οποίο ένα δυναμικό σύστημα περνάει στο Χάος.

Από τότε, η Θεωρία του Χάους έχει βρει εφαρμογές σε πολλές επιστήμες. Χαρακτηριστικότερα παραδείγματα η Οικονομία και η Αστρονομία.

Στην Οικονομία, και ειδικότερα στη Μικροοικονομία (που έχει σημείο εφαρμογής μεμονωμένα οικονομικά υποκείμενα ή επιχειρήσεις), το Χάος έχει κάνει δυναμικά την εμφάνισή του. Από το 1970, πολλοί οικονομολόγοι και μαθηματικοί έχουν αρχίσει να εξετάζουν πολλές οικονομικές θεωρίες υπό το πρίσμα της νέας επιστήμης. αποτέλεσμα ήταν η δημιουργία νέων τεχνικών οικονομετρία που μπορούν να εξηγήσουν και να προβλέψουν την κίνηση των μετοχών στις αγορές. Για παράδειγμα, οι δραματικές αυξομειώσεις στις αγορές της Κίνας τα τελευταία χρόνια εξηγούνται μέσω του φαινομένου της πεταλούδας.

Στη δε Αστρονομία, και συγκεκριμένα στην Ουράνια Μηχανική, που ασχολείται με τις τροχιές των ουράνιων σωμάτων (π.χ. κομητών) οι οποίες συχνά δίνουν “άστατες” λύσεις, και στη Δυναμική Αστροφυσική, που ασχολείται με την κινηματική και τη δυναμική των συστημάτων των ουράνιων σωμάτων (π.χ. πλανητικών συστημάτων, γαλαξιών, νεφελωμάτων), το Χάος είναι ο βασικός τόπος ερευνών. Αξιοσημείωτο είναι ότι έχει εμφανιστεί μία νέα και πιθανότερη εκδοχή της συντέλειας του (δικού μας) κόσμου. Καθώς το ηλιακό μας σύστημα είναι ασταθές, όπως προαναφέρθηκε, οι πλανήτες, και ειδικότερα οι μικροί (Ερμής, Αφροδίτη, Γη, Άρης) εκτελούν τροχιές τις οποίες δεν μπορούμε να προβλέψουμε για πάνω από 100.000.000 χρόνια. Κάποιοι υποστηρίζουν ότι θα φύγουν από την τροχιά τους καταστρέφοντας τη λεπτή ισορροπία του ηλιακού συστήματος πολύ πριν καταρρεύσει ο Ήλιος (το δεύτερο πιθανότερο σενάριο καταστροφής).

 

Χάρτες, Υπολογιστές και Μετοχές: Fractals παντού!

Την ίδια περίπου περίοδο, o Γάλλο-Αμερικάνος μαθηματικός Benoit Mandelbrot (1924-2010) άρχισε να ανακαλύπτει μία συγκεκριμένη αναλογία μελετώντας τυχαίες και απρόβλεπτες μεταβολές (αντίστοιχες αυτών που μελετούσε ο Lorenz).

Ο Mandelbrot ξεκίνησε να ενδιαφέρεται για το Χάος μελετώντας τις μεταβολές των τιμών του μπαμπακιού σε διάφορες αγορές (του Λονδίνου, της Ν. Υόρκης, κτλ). Σύμφωνα με τις μέχρι τότε επικρατούσες θεωρίες, οι μικρές και προσωρινές μεταβολές των τιμών δεν σχετίζονταν με τις μεγάλες. Η πεποίθηση όλων ήταν ότι οι μικρές αλλαγές γίνονται τυχαία, χωρίς να επηρεάζουν το σύνολο. Ωστόσο, ο Mandelbrot εμβάθυνε στο θέμα μελετώντας όχι μόνον τις τιμές αλλά και τις κλίμακες στις οποίες αυτές κινούνταν.

Έπειτα από προσεκτική έρευνα, αντιλήφθηκε πως, παρότι οι μεταβολές των τιμών ήταν τυχαίες (όπως υποστήριζαν και οι οικονομολόγοι), οι καμπύλες των μεταβολών ως προς το χρόνο ακολουθούσαν συγκεκριμένες αναλογίες: οι καμπύλες της ημερήσιας μεταβολής των τιμών συνέπιπταν με καμπύλες της μηνιαίας ή της ετήσιας μεταβολής. Ο Mandelbrot είχε βρει ένα είδος τάξης μέσα στις τυχαίες σειρές των τιμών.

Αυτή ήταν μόνον η αρχή της επανάστασης που επακολούθησε. Όλο και περισσότερες έρευνες οδηγούσαν στο εξής συμπέρασμα ότι η Φύση δεν είναι ομαλή ή ευκλείδεια, όπως τη φανταζόμαστε, ούτε περιγράφεται με πλήρως λογικούς νόμους, όπως αυτοί του Newton. Οι μικρές μεταβολές μπορούν να αλλάξουν τελείως μία κατάσταση που φάνταζε στατική και αμετάβλητη. Κάθε σύστημα, φυσικό (π.χ. ο πληθυσμός ενός είδους σε ένα οικοσύστημα) ή ανθρωπογενές (π.χ. η διακύμανση των τιμών στις αγορές), παρουσιάζει μεγάλη πολυπλοκότητα. Η ύλη, σε μεγάλη μεγέθυνση, παρουσιάζει ανωμαλίες που ουδεμία σχέση έχουν με τη γνωστή μας γεωμετρία αλλά υπακούουν απόλυτα στη λογική του Mandelbrot.

Μια νέα γεωμετρία άρχισε να παίρνει μορφή. Το όνομα αυτής: Fractal (Μορφοκλασματική). Τα σχήματά της (μορφοκλασματικά σύνολα ή Fractals) καταλάμβαναν, με τα χρώματα και την ιδιαίτερη ομορφιά τους, τις περισσότερες σελίδες των αντίστοιχων δημοσιεύσεων. Χαρακτηριστικά τους η περιπλοκότητα και η αυτό-ομοιότητα (σταθερές αναλογίες που εμφανίζονται υπό μεγέθυνση).

Το πιο ενδιαφέρον, όμως, ήταν ότι οι επιστήμονες που ασχολούνταν με αυτά άρχισαν να τα βλέπουν παντού. Η Μορφοκλασματική Γεωμετρία, είπαν, είναι η γεωμετρία της Φύσης.

Το Χάος ήταν επιτέλους ο πρωταγωνιστής της παράστασης.

Από τα χαρακτηριστικότερα παραδείγματα εφαρμογής των Fractals είναι η χαρτογράφηση. Ένας χάρτης (όπως ο χάρτης της Μ. Βρετανίας) παρουσιάζει στοιχεία (π.χ. οι ακτογραμμές) τα οποία δε μοιάζουν να υπακούουν στους κανόνες της μέτρησης μηκών (ή εμβαδών) που χρησιμοποιούμε. Εμφανίζουν άπειρη πολυπλοκότητα και ο μόνος τρόπος ακριβούς μέτρησής τους είναι η συνεχής διαίρεση των μονάδων μέτρησής μας: από χιλιόμετρα σε μέτρα, από μέτρα σε χιλιοστά, κτλ. Αν, όμως, χρησιμοποιήσουμε ένα κατάλληλο Fractal, το οποίο έχει την ιδιότητα να επαναλαμβάνεται με κάθε διαίρεση, το πρόβλημα σαφώς γίνεται πιο απλό.

Η ρεαλιστική απεικόνιση περίπλοκων φυσικών σχηματισμών, όπως η τρισδιάστατη δομή ενός βουνού, απαιτεί επίσης σχήματα που δεν εμπίπτουν στη γνωστή μας (ευκλείδεια) γεωμετρία. Έτσι, οι υπολογιστές χρησιμοποιούν κατάλληλα Fractals (που διαιρούνται σε μικρότερα, όμοια με το αρχικό, σχήματα) για να δώσουν εικόνες όμοιες των πραγματικών.

Η φύση της ίδιας της ύλης παρουσιάζει άπειρη πολυπλοκότητα. Καθώς εμβαθύνουμε σε μία λεία επιφάνεια θα δούμε ότι δεν είναι καθόλου λεία. Απεναντίας, είναι τραχιά και εμφανίζει μία fractal δομή, καθώς τα μόρια της διατάσσονται άτακτα αλλά υπό σταθερή αναλογία κλίμακας. Το ίδιο συμβαίνει και με τις νιφάδες του χιονιού και με τις διακλαδώσεις των νεύρων.

Σήμερα τα Fractals χρησιμοποιούνται ακόμη και σε θεραπείες για τη νόσο του Parkinson.

 

Bibliography

• J. Gleick: “Chaos – Making a New Science”, pp. 34-59, 120-164, Publications “Catoptro” (February 1990), Trans (in Greek): M. Konstantinidis
• B. Parker: “Chaos in the Cosmos – The stunning complexity of the universe”, pp. 15, 45-52, 75-89, P. Travlos Press (Athens 1999), Trans (in Greek): Th. Grammenos
• H. Varvoglis: “History and Ideas Evolution in Physics”, pp. 155-159, Thessaloniki Planetarium Publications (Thessaloniki 2011)
• N.K. Artemiadis: “History of Mathematics (from the mathematician’s point of view)”, pp. 463-465, Academy of Athens – Research Committee (Athens 2000)
• G. Theodorou: “From Newton to Chaos – Deterministic or Stochastic Description of Nature”, Phenomenon No. 12 (Period 4) (June 2011), pp. 12-15
• G. Theodorou: “About Chaos”, Phenomenon No. 13 (Period 4) (October 2011), pp.6-9
• IHMO (In My Humble Opinion) “Chaos Theory – A Brief Introduction” (www.imho.com/grae/chaos/chaos.html), last visited: 27/01/2012
• J.D. Hadjidemetriou: “Chaos in the Solar System”, Physics Department of Aristotle University of Thessaloniki website(http://users.auth.gr/~hadjidem/solar1.html), last visited: 01/02/2012
• “? Chaos Guide to Beginners – Chaos and Destruction Theories”, Physics4u Blog(www.physics4u.gr/chaos/chaos6.html), last visited: 30/01/2012
• B.B. Mandelbrot: “The Fractal Geometry of Nature”, W.H. Freeman Press (San Francisco 1982)
• H. Varvoglis: “Magic of Fractals”, VimaScience (24/10/2010),(www.tovima.gr/science/article/?aid=362800), last visited: 27/01/2012

 

Iconography

• Our Statures touch the Sky: “Isaac Newton” (http://disabledlives.blogspot.com/2011/01/isaac-newton-1643-1727.html), last visited: 30/01/2012
• Sociedad y Tecnologia CUL: “Isaac Newton” (http://sociedadytecnologiaculdg86.wordpress.com/la-revolucion-cientifica/isaac-newton/), last visited: 30/01/2012
• “Henri Poincaré” (www.gap-system.org/~history/PictDisplay/Poincare.html), last visited: 30/01/2012
• H. Löffelmann, T. Kucera & E. Gröller: “Visualizing Poincaré Maps together with the underlying flow” (www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Poincare.html), last visited: 30/01/2012
• MIT News: “Photos of Edward Lorenz” (http://www.technologyreview.com/article/32405/), last visited: 30/01/2012
• “Chaotic Water Wheel” (www.ace.gatech.edu/experiments2/2413/lorenz/fall02/), last visited: 30/01/2012
• La Nueva Espana: “Mandelbrot y los monstrous impossibles” (www.lne.es/siglo-xxi/2010/10/29/mandelbrot-monstruos-imposibles/984848.html), last visited: 01/02/2012
• Mandelbulb/Mandelbrot/Fractals for beginners: “Functions and Iteration, and how fractals are generated”, (http://mandelubber.blogspot.gr/2011/05/functions-and-iterations-and-how.html) last visited: 07/06/2012
• Miqel.com, your favorite source of random information: “Reflective Spheres of Infinity: Wada Basin Fractals” (www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-wada-basin-spheres.html) last visited: 30/01/2012
• Mac MSE Physics Corner: “Real Fractals and some applications” (http://cmnewsletter.wordpress.com/2011/10/28/mac-mse-physics-corner-real-fractals-and-some-applications/), last visited: 01/02/2012
• Special Interests: “CHAOS THEORY” (www.barrebarrett.com/interest.htm), last visited: 01/02/2012